Science for Everyone

[uploader]

Salah satu permasalah klasik Matematika favorit saya. Saya selalu menantang anak-anak didik saya dengan permasalahan ini untuk membuat mereka mengkritisi intuisi mereka sendiri. Permasalah klasik yang menggemparkan pada masanya, dinamakan Monty Hall Problem, yang dicatut dari nama pembawa acara kuis Let's Make a Deal (kuis yang menginspirasi "Super Deal 2 Milyar" versi Indonesia) yang menjadi pemicu keriuhan permasalahan ini.


Intuisi vs Logika

Ada sebuah kolom di majalah Parade (AS) yang dinamakan "Ask Marilyn". Setiap pembaca bisa mengajukan pertanyaan dan Marilyn vos Savant akan menjawabnya. Marilyn sendiri dikenal sebagai orang dengan IQ tertinggi di dunia versi Guinness Book of World Records Hall of Fame. Di edisi September 1990, ada sebuah surat pembaca yang dikirim oleh Craig F. Whitaker dari Columbia, Maryland.

Anggap Anda sedang mengikuti sebuah kuis TV, hadiah utama kuis ini adalah sebuah mobil. Ada 3 pintu tertutup dengan 2 pintu berisi kambing dan satu pintu berisi mobil. Pembawa acara meminta Anda menebak pintu mana yang berisi mobil untuk dibawa pulang. Anda menebak pintu A, tapi alih-alih itu, si pembawa acara malah membuka pintu B yang berisi kambing untuk membuat Anda semakin bimbang. Lalu pembawa acara mengatakan bahwa tinggal satu kesempatan, untuk merubah pilihan Anda, apakah akan tetap memilih pintu A, atau berubah pikiran dengan pintu C. Apa yang akan Anda lakukan?

Marilyn menjawab bahwa Anda harus mengubah keputusan dan memilih pintu C, karena peluang mendapatkan mobil di balik pintu C adalah 2 dalam 3 dibandingkan jika bertahan di pintu A.

Sekilas, kita pasti menganggapnya sebagai sebuah lelucon. Dengan dua pintu tersisa, kita hampir yakin bahwa peluang mendapatkan mobil adalah 50:50 karena kalau tidak di pintu A ya pasti di pintu C. Jadi memilih pintu A atau C akan sama saja, bukan 1:2 seperti kata Marilyn.

Sepuluh ribu lebih surat masuk membanjiri meja reaksi Parade karena jawaban Marilyn terkesan mengada-ngada. Siswa, petani, pedagang, hingga profesor, dsb mengecam jawaban yang seolah tidak masuk akal ini. Hampir 92% surat yang masuk mengatakan Marilyn salah, banyak diantaranya ditulis oleh matematikawan dan ilmuwan terkemuka. Surat yang berisi cemoohan dan kecaman keras kepada Marilyn yang ber-IQ tertinggi tapi dianggap tidak becus menyelesaikan permasalahan sederhana ini.

Dan, berhati-hatilah terhadap intuisi Anda. Jawaban yang diberikan Marilyn, adalah "benar".

Ada 2 cara untuk membuktikan bahwa Marilyn benar:

1. Secara matematis, misal 3 pintu A, B, dan C. Misal Ma adalah kejadian dimana Mobil berada di balik pintu A (pun dengan Mb dan Mc). Lalu Pa berarti kejadian dimana si Pembawa acara membuka pintu A (pun dengan Pb dan Pc). Anggap kita awalnya memilih pintu A, lalu kemudian menukar pilihan, rumus probabilitas untuk hal ini diberikan dengan persamaan:

P(Pc^Mb)+P(Pb^Mc) = P(Mc).P(Pc|Mb) + P(Mc).P(Pb|Mc) = (1/3 . 1) + (1/3 . 1) = 2/3

2. cara kedua dapat dilakukan dengan diagram Decision Tree.

Jadi, jika kita mengubah pilihan, peluang kita menang adalah 2x lebih banyak daripada kita tetap bertahan pada pilihan asal. Intusi kita mungkin mengatakan bahwa hal itu absurd. Tapi begitulah kenyataannya. Intuisi kadang bisa salah, dan logika dapat membantu dan menuntun intuisi agar mendapat jawaban yang benar.


catatan tambahan:

1. Patut diingat, bahwa "semakin besar peluang untuk menang" tidak sama artinya dengan menang ("pasti" dalam nilai peluang berarti "1" dan mustahil adalah "0"). Saran Marilyn untuk terus mengubah jawaban (memilih opsi terakhir) hanya menambah peluang. Lantas, jika kita mengikuti kuis semacam ini, apakah kita harus mengikuti saran Marilyn? Secara matematis adalah jawabannya, ya. Tapi sejak kegemparan dan kehebohan yang diakibatkannya, pembawa acara kuis Let's Make a Deal, yakni Monty Hall, melakukan trik untuk menggiring agar si peserta memilih yang terakhir yang berisi zonk. Jadi ada faktor tambahan lain.

2. Permasalahan lain yang mirip dengan kasus ini disebut sebagai Boy or Girl paradox. Dalam bentuk sederhana, paradoks ini dapat dicontohkan sebagai berikut. Misal di depan rumah kita ada tetangga baru bernama Pak Agus. Pak Agus memiliki dua anak. Anda tahu salah satu anaknya berjenis kelamin laki-laki karena pernah bertemu tapi tidak tahu anak yang satu lagi berjenis kelamin apa. Anda disuruh menebak, berapa peluang anak yang satunya lagi perempuan? Secara hampir spontan kita mungkin akan menjawab peluang anak perempuan adalah 1/2 (alias 50:50) karena kalau tidak laki-laki yah pasti perempuan. Jawaban yang benar adalah 2/3 dengan solusi yang hampir sama dengan Monty Hall problem. Dan jika pertanyaannya saya ubah, "jika anak yang satu adalah laki-laki dan lahir pada hari Senin, maka berapa peluang anak lain akan perempuan?". Jawaban teka-teki sederhana ini mungkin akan membuat Anda terkejut.

bacaan tambahan
http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html
http://www.economist.com/node/187166
http://econpapers.repec.org/paper/wpawuwpex/9906001.htm