Untuk memahami bagian ini, saya sarankan membawa buku bantuan
Introduction to Quantum Mechanics karya David J. Griffiths.
Jika kita tulis persamaan Schrödinger dalam bentuk bergantung waktu (time dependent),
dengan Ψ adalah solusi persamaan sebagai fungsi waktu dan posisim, V adalah energi potensial, ∇
2 adalah operator Laplacian.
Satu, persamaan ini adalah persamaan dinamika. Jadi, kedudukannya setara dengan persamaan gerak Newton: F = m d
2x/dt
2
dan bentuknya mirip dengan persamaan gelombang untuk gelombang ∇
2f = 1/v
2 d
2f/dt
2
Persamaan gerak Newton adalah untuk partikel (objek yang memiliki massa, padahal cahaya/foton tidak memiliki massa), persamaan gelombang adalah untuk gelombang (objek yang memiliki panjang gelombang). Sedangkan persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang untuk partikel.
Persamaan gelombang untuk partikel? Bukankah persamaan gelombang objeknya gelombang? Artinya, identitas dari persamaan gelombang adalah panjang gelombang? Benar… identitas gelombang sebuah partikel diberikan oleh hipotesis de Broglie,
Lalu, persamaan Schrödinger adalah wujud lain dari kekekalan energi. Ini terlihat kalau persamaan Schrödinger ditulis dalam bentuk tak bergantung waktu (time independent),
(Mengubah persamaan Schrödinger dari bergantung waktu ke takbergantung waktu menggunakan teknik pemisahan variabel. Lebih detail dapat dilihat pada buku-buku teks mekanika kuantum)
Kedudukannya sama dengan persamaan Bernoulli pada mekanika fluida, persamaan kontinuitas pada mekanika fluida dan elektrodinamika, dan tentu saja sama dengan prinsip kekekalan energi,
T +
V =
E (
T adalah energi kinetik,
V adalah energi potensial, dan
E adalah energi total.
Dan, bagi yang sudah mengenal
persamaan kanonikal Hamilton, persamaan Schrödinger dapat ditulis dalam bentuk
dengan Ĥ disebut operator Hamiltonian. Dalam mekanika klasik, operator Hamiltonian didefinisikan sebagai fungsi dari momentum posisi
x dan
p.
Jika kita kaitkan dengan suku-suku sebelah kiri persamaan Schrödinger takbergantung waktu, terlihat bahwa p
2 → -ħ
2∇
2 yang mengubah kuadrat momentum menjadi operator energi kinetik. Ini adalah ide original dari Erwin Schrödinger, suku ini tidak dapat diturunkan dari hukum apapun (baca: Feynmen Lectures on Physics volume III, Bab 16).
Mudah bagi kita untuk mendefinisikan operator momentum, yaitu
http://upload.wikimedia.org/math/c/b...e72a780354.png
Nilai
E dalam persamaan Schrödinger disebut juga nilai eigen dari Hamiltonian. Sementara, fungsi gelombang
Ψ disebut fungsi eigen.
Bagi mereka yang belum mengkhatamkan Mekanika Klasik, bagian ini tentu mulai sedikit menyesakkan dada.
bagian terakhir, yang membuat persamaan Schrödinger sedikit berbeda dari persamaan gerak partikel atau gelombang dalam mekanika klasik adalah interpretasinya. Persamaan Schrödinger digunakan dalam mekanika kuantum yang, berbeda dengan klasik, menganut paham probabilistik. (Sila baca Bab 1 pada buku Griffiths)
Apa maksudnya?
Perhatikan persamaan gerak partikel yang diberikan oleh hukum 2 Newton. Jika saya tahu jenis gaya eksternal yang bekerja pada sistem, saya dapat menyelesaikan persamaan tersebut sehingga saya mendapatkan fungsi
x(t) seperti dalam kasus gerak lurus berubah beraturan.
Artinya, jika kita tahu percepatan partikel, kita tahu kecepatan awalnya, maka kita tahu di mana partikel itu pada waktu kapan pun juga. Jika kita mengetahui lintasannya, kita dapat mengetahui dengan pasti apa yang terjadi pada partikel pada waktu masa depan atau masa lalu.
Begitu pula dengan persamaan gelombang. Jika kita tahu simpangan maksimumnya, kita tahu karakteristik talinya (massa jenis dan panjang), maka kita tahu apa yang terjadi terhadap tali pada jarak
x dan waktu
t. Kita dapat hitung dengan tepat energi yang dirambatkan pada tali, dan seterusnya…
Tapi, fungsi gelombang untuk partikel yang merupakan solusi dari persamaan Schrödinger tidak memberikan makna apa-apa. Fungsi gelombang Schrödinger baru bermakna ketika dikuadratkan,
Ψ2, yaitu menjadi fungsi kepadatan probabilitas (probability density function, PDF).
Konsep PDF menjadi sedikit rumit karena Anda harus terbiasa dengan teori probabilitas. Anda dapat membaca Bab 1 buku Griffiths.
Teori probabilitas menjadi penting dalam persamaan Schrödinger karena mekanika kuantum sendiri menganut paham probabilistik. Dan di sinilah permasalahannya
Bahwa Alam ini berperilaku probabilistik. Apa yang akan dilakukannya nanti tidak dapat diketahui secara pasti secara matematis. Yang bisa kita lakukan adalah menghitung segala kemungkinan yang terjadi. Meskipun demikian, Alam tidak harus melakukan apa yang kita anggap sebagai kemungkinan terbesar.
Kita tidak pernah dapat menjelaskan kenapa Alam berperilaku sebagaimana dia berperilaku, kita hanya dapat menghitung bagaimana mekanisme perilakunya tersebut.
Kita dapat menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk berbagai kasus, tapi interpretasi fisis dari solusi tersebut harus menggunakan kacamata probabilistik. Ini yang menjadi sumber kegalauan pada praktisi kuantum, mereka menghitung sesuatu yang mereka tidak tahu kenapa.
Mahasiswa juga ikut latah bingung. Bedanya, kalau praktisi bingung pada tahap filosofis, mahasiswa bingung pada tahap dasar: perhitungan matematis dan interpretasi fisis.
Sebelum menyelesaikan sebuah masalah, kita dituntut untuk memahami secara fisis permasalahan tersebut. Pemahaman yang baik akan menuntun kita menggunakan matematika yang tepat dalam penyelesaiannya. Matematika persamaan Schrödinger tidak hanya terletak pada persamaan diferensial orde dua, operator Laplacian, dan sketsa grafik fungsi saja. Jangan dilupakan, bahwa fisis dari persamaan Schrödinger justru terletak pada teori probabilitas.
![kopimaya [dot] kom - Secangkir Kehangatan di Dunia Maya - Powered by vBulletin](images/misc/vbulletin4_logo.png){kind=logo}
